Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Aplicatii ale integralei definite
Scris de mihaiela lazar   
Sâmbătă, 15 Februarie 2020 16:21

APLICAȚII ALE INTEGRALEI DEFINITE

Prof. Opriș Brișcan Maria,

Liceul Tehnologic,,C-tin Brâncuși” Oradea

În lucrarea de față mă voi referi la o parte din aplicațiile integralei definite și anume la calculul ariilor unor suprafețe plane și volumelor unor corpuri neregulate.

La geometrie în gimnaziu am învățat să calculăm ariile și perimetrele diferitelor suprafețe plane regulate cum ar fi pătratul,triunghiul,cercul, etc dar și volumele unor corpuri de rotație: cilindrul, conul, sfera etc. Există suprafețe și corpuri neregulate ale căror arii și volume le calculăm cu ajutorul integralelor definite studiate în manualul de ,,Analiză Matematică, în clasa a XII-a.

Cuvinte cheie: arie, suprafețe plane, integrală definită, volume, corpuri de rotație.

Aria unei suprafețe plane

Noțiuni teoretice:

Fie funcția f:[a,b]R continuă și pozitivă.Suprafața mărginită de graficul funcției f ,axa Ox și dreptele de ecuații x=a, x=b se numește subgraficul lui f și aria lui se calculează cu formula: Aria(=

Dacă f,g:[a,b]R sunt continue și f(x)g(x) atunci aria suprafeței cuprinsă între graficele celor două funcții se calculează după formula:

Aria()=

Studiem câteva exemple:

1) Fie funcția f:[0,1] R f(x)=.Cum funcția este pozitivă , aria subgraficului lui f este;

Aria()=)dx=( =+2020

2) f:[e,] R f(x)=xlnx este o funcție pozitivă , prin urmare aria subgraficului lui f ,aplicând formula de integrare prin părți și facând toate calculele este:

Aria()= xlnx)dx=(lnx-) =

3) f:[-3,2]R f(x)=

Aria(=+)dx=

=(+(=

4) Fie funcțiile f,g:[0,2]R f(x)= și g(x)=2x-. Calculăm aria cuprinsă între graficele celor două funcții:

y




Aria()




x

Aria()=)dx=(2=

5) Considerăm funcțiile f,g:[0,2]R f(x)= , g(x)=x+1

y




Aria()

x

Aria()=)dx=() =

6)Se consideră funcția f:RR f(x)=-3m+4mx-3, unde m este un număr real nenul.Aflați m pentru care aria suprafeței plane determinată de graficul funcției,axa Ox și dreptele de ecuații x=0, x=1 să fie maximă.

Aria()=-3m+4mx-3)dx=(-=-+2m-3

Această expresie este de gradul doi și este maximă pentru m=1

7)Fie funcția f:[0,∞)R f(x)=. Aflați numărul a, 0 astfel încât aria suprafeței plane determinată de graficul funcției f, axa Ox și dreptele de ecuații x=0, x=a să fie egală cu 1-.

Aria()=)dx=ln(x+2)-=ln(a+2)--ln2=ln-

Egalăm rezultatul obținut cu 1- ,iar după calcule rezultă a=2e-2

Volumul unui corp de rotație

Noțiuni teoretice:

Fie f:[a,b] o funcție continuă.Se numește corp de rotație corpul obținut prin rotirea subgraficului funcției f în jurul axei Ox și are volumul dat de formula:

V(

Vom studia câteva exemple:

1) Se dă funcția f:[0,1] f(x)= . Calculavolumul corpului generat de rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox.

Așadar V(=dx===

[=

y

V(




x




z

2)Calculați volumul corpului obținut prin rotirea subfraficului funcției f:[2,3] f(x)= în jurul axei Ox.

V(====+=

3)Se dă funcția f:[0,4] f(x)= .Aflați a astfel încât V( obținut prin rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox să fie egal cu 32

V(==8

Egalăm rezultatul obținut cu 32 și din rszolvarea ecuației rezultă a=2

4)Fie f:[0,1] f(x)= . Se cere volumul corpului obținut prin rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox.

V((x+=(1=

5)Se consideră funcția f:RR f(x)=3x+5 unde a este real.Să se arate că valoarea minimă a volumului corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcției h:[0,1]R h(x)=f(ax) este de pentru orice x

V(

=

Astfel am obținut o funcție de gradul al doilea, iar minimul ei este . După înlocuiri și calcule făcute rezultatul este tocmai .

6)Dându-se funcția f:[0,1]R f(x)=mx+5 , aflați m real astfel încât volumul corpului obținut prin rotirea în jurul lui Ox a subgraficului lui f să fie minim.

V(=+5m+25)

Volumul este minim pentru m=

Bibliografie:

Săndulescu F., Solymoși M.,Nica C., Matematică, bacalaureat-teste, Ed. Booklet, București, 2012


Articole asemanatoare relatate:
Articole asemanatoare mai vechi:

 

Revista cu ISSN

Tipuri de turism din comuna nanesti jude…

TIPURI DE TURISM DIN COMUNA NĂNEŞTI - JUDEŢUL VRANCEA   Prof. Ciobotaru Ana-Maria Şcoala Gimnazială Măicăneşti   Rezumat: Comuna Năneşti este situată în partea de sud-est a judeţului Vrancea pe malul drept al Siretului în plină...

Read more

Fisa de observare a lectiei model

   ANEXA Nr. 5   la regulament   Fisa de observare a lectiei   - model -   Unitatea de invatamant: ....................................................................................................................................................... Data: .......................... Numele si functia cadrului didactic inspectat/asistat: ........................................................................................................... Specialitatea: ........................................................................................................................................................................ Clasa: ..............................................

Read more

Tutunul si efectele fumatului asupra org…

TUTUNUL ŞI EFECTELE FUMATULUI ASUPRA ORGANISMULUI Prof. Camelia Veronica Cosma Liceul de Artă ”Ioan Sima” Zalău În societatea actuală acest viciu ”legal” este tot mai mult preferat...

Read more

Cartea si importanta lecturii

CARTEA ŞI IMPORTANŢA LECTURII                                                                                                      Prof. DOBREA MONICA Şcoala cu clasele I-VIII „Înv. N. Pâslaru” Caşin, jud. Bacău     Motto: „Carte frumoasă, cinste cui te-a scris Încet gândită, gingaş cumpănită; Mâinile mele, care te-au deschis.” (T....

Read more

Ordin organizarea si desfasurarea probel…

Ordin privind organizarea si desfasurarea probelor specifice sustinute de elevii sectiilor bilingve francofone in vederea obtinerii mentiunii speciale "sectie bilingva francofona" pe diploma de bacalaureat   Afla Ordinul 5720 din 10 septembrie...

Read more

Politici europene privind invatarea pe t…

POLITICI EUROPENE PRIVIND ÎNVĂȚAREA PE TOT PARCURSUL VIEȚII Prof. Alexandra Pepelea Liceul Teoretic „Vasile Alecsandri”, Iaşi În domeniul major al educației, Uniunea Europeană a înțeles că succesul înseamnă asumarea responsabilității...

Read more

Ce teze se dau in anul scolar 2012 2013

Ce teze se dau in anul scolar 2012-2013   In scurta vreme va incepe perioada tezelor din anul scolar 2012-2013. Vezi perioada de sustinere a tezelor, precum si lista disciplinelor la care...

Read more

Sfaturi pentru parinti si decalog antidr…

Sfaturi pentru părinți și decalog antidrog Iată 10 sfaturi pentru părinţi pentru a-şi ţine copiii aproape de ei şi departe de droguri: 1. Fii parte activă din viaţa lor! Fă-ţi timp...

Read more