Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Categorii
Scris de administrator   
Joi, 08 Iunie 2017 16:08

CATEGORII

Prof. Badea Brigitte,

Colegiul Tehnic Ion Mincu, Timişoara

Rezumat

Structurile algebrice constituie o ramură fascinantă a algebrei, cu aplicaţii extrem de interesante. Elevilor din clasele a XII-a le sunt pezentate câteva structuri algebrice de bază prin care ei pot întrezări frumuseţea acestei părţi a matematicii. Pentru profesorii interesaţi de extinderea în acest domeniu a cunoştinţelor elevilor pe care îi îndrumă voi prezenta în articol noţiunea de categorie, construită cu ajutorul morfismelor studiate în liceu. Această structură algebrică va fi exemplificată prin două categorii tipice, categoria grupurilor abeliene Ab şi categoria R-modulelor Mod( R).

I. Noţiunea de categorie

Se numeşte categorie o noţiune matematică C dată prin:

- o clasă Ob C ale cărei elemente se numesc obiecte;

- pentru fiecare cuplu de obiecte (A,B), o mulţime notată HomC(A,B) numită mulţimea morfismelor de la A la B;

- pentru fiecare tre iobiecte A, B, C o aplicaţie:

mABC: HomC(A,B) HomC(B,C) ®HomC(A,C), aplicaţii care definesc compunerea morfismelor; vom nota: mABC((f,g)) = gf.

Aceste date sunt supuse următoarelor condiţii:

(Cat.1) Dacă (A,B) şi (C,D) sun tdouă perechi distincte de obiecte din C, atunci

HomC(A,B) ∩ HomC(C,D) = Æ.

(Cat.2) Compunerea morfismelor este asociativă, adică:

dacă f HomC(A,B), g HomC(B,C), h HomC(C,D) atunci h(gf) = (hg)f .

(Cat.3) Pentru fiecare obiect A există un morfism 1A HomC(A, A) astfelîncât f HomC(A, ×) şi g HomC(× ,A) să avem: f1A = f şi 1A g = g .

Observaţie: Pentru fiecare obiect A, morfismul1A numit morfism unitate sau morfism identic, este unic.

Fie D o categorie. O categorie Cse numeşte subcategorie a lui D dacă sunt îndeplinite condiţiile:

1) Ob C ÍObD ;

A, B Ob C, HomC(A,B) HomD(A,B) ;

2) Compunerea înCeste indusă de compunerea din D;

3) A Ob C, 1A HomC (A,A).

Prin duala unei categorii vom înţelege categoria C° dată prin:

a) ObC° = ObC ;

b) HomC° (A,B) = HomC(B,A);

c) pentru A, B, C Ob C°, f HomC° (A,B), g HomC° (B,C), m ((f,g)) = mCBA((g,f)).

Principiul dualităţii: Orice noţiune sau enunţ relativ la obiectele şi morfismele unei categoriiCadmite, prin transcriere în categoriaC°, o noţiune sau un enunţ dual.

Observaţie: Practic, dualizarea se obţine prin inversarea săgeţilor ce reprezintă morfismeleluiC.

II. Exemple

1) Categoria grupurilor abeliene Ab

Această categorie este unul din exemplele tipice de categorii, în mod evident condiţiile fiind îndeplinite pentru grupurile abeliene dotate cu morfismele obişnuite şi cu compunerea morfismelor. Exemplul este accesibil inclusive elevilor de liceu în cazul extinderii cunoştinţelor referitoare la structurile algebrice.

2) Categoria R-modulelor Mod(R)

Fie R un inel comutativ arbitrar, cu elemental unitate 1 ≠ 0.

Printr-un modul peste R sauR-modul înţelegem un grup aditiv abelianX împreună cu o aplicaţie

μ: R X → X care satisface următoarele patru axiome:

(M1) μ ( α+β, x) = μ (α, x) + μ ( β, x), α, β R, x X

(M2)μ( α, x+y) = μ(α, x) + μ (α, y), α R , x, y X

(M3)μ [α,μ ( β, x)]= μ (α β, x), α, β R , x X

(M4) μ (1, x) = x , x X .

Aplicaţia μ este numită înmulţirea cu scalar ia modulului X. Această operaţie externă este notată, de regulă, multiplicativ:μ (α, x) = αx.

Cu această notaţie axiomele (M1) – (M4) se scriu:

(M ) (α+β)x = αx + βx , α, β R, x X

(M ) α(x+y) = αx + αy , α R , x, y X

(M ) α(β x) = (α β)x α, β R , x X

(M ) 1x = x, x X .

Fie X şi Y două R-module. O aplicaţie f: X → Y se numeşte morfism de R-module dacă îndeplineşte condiţiile:

(1) f(x+y) = f(x) + f(y), x, y X

(2) f(αx) = αf(x) , α R, x X.

Cu alte cuvinte f este morfism de R-module dacăşi numai dacă este morfism de grupuri şi păstrează înmulţirea cu scalari.

R-modulele dotate cu morfismele de R-module şi cu compunerea uzuală a morfismelor constituie de asemenea un exemplu tipic de categorie.

Bibliografie:

[1] Dragomir A., Dragomir P. – “Structuri algebrice”, Edit. Facla,Timişoara, 1981;

[2] Mitchell B. – Theory of Categories”, Academic Press, New York, 1965;

[3] SzeTsen Hu Introduction to Homological Algebra”, Holdan-Day Inc., 1968.

 

Revista cu ISSN

Integrare_copii cu cerinte educative spe…

PROBLEME DE INTEGRARE A COPIILOR CU CERINŢE EDUCATIVE SPECIALE Inst. Cristina Laura Şcoala cu clasele I-IV Susag, Comuna Craiva, Judetul Arad Ca fiintǎ socialǎ, omul...

Read more

Mari matematicieni ai antichitatii

Mari matematicieni ai antichitatii

MARI MATEMATICIENI AI ANTICHITĂŢII   Prof. Popp Loredana Şcoala cu clasele I-VIII SINANDREI   Euclid din Alexandria Euclid din Alexandria originar din Damasc(ca. 325 î. Hr, 265 î. Hr) a fost un matematician grec care a...

Read more

Importanta si rolul literaturii pentru c…

IMPORTANȚA  ȘI ROLUL LITERATURII PENTRU COPII ÎN FORMAREA PERSONALITĂȚII PREȘCOLARULUI Prof. înv. preșc. Ivașcu Celestina Școala Gimnazială Petrești, Dâmbovița Basmele sunt foarte atractive pentru cei mici. De-a lungul timpului ele...

Read more

Valorificarea documentelor autentice in …

VALORIFICAREA DOCUMENTELOR AUTENTICE ÎN LIMBA FRANCEZĂ   Prof. Mihaela COCU Liceul Tehnologic de Marină, Galaţi     Documentele autentice reprezintă pentru elevi şi profesori o poartã deschisã spre actualitate, spre tot ce e nou în limba...

Read more

Scoala parintilor un mijloc de imbunatat…

STUDIU- „ŞCOALA PĂRINŢILOR” - UN MIJLOC DE ÎMBUNĂTĂŢIRE A CALITĂŢII ÎN ÎNVĂŢĂMÎNTUL PREUNIVERSITAR înv. Marc Aurica, Școala Gimnazială Cîmpeni "Spune-mi și o să uit. Arată-mi și poate n-o să-mi amintesc. Implică-mă...

Read more

Creativitatea si stimularea potentialulu…

CREATIVITATEA ȘI STIMULAREA POTENȚIALULUI CREATIV LA VÂRSTA PREȘCOLARĂ Comoli Doina, prof. înv. primar Școala Gimnazială Nr. 96, București Creativitatea marchează întreaga personalitate și...

Read more

Vivant profesores!

    VIVANT PROFESORES!   - Referat -     CUPRINS:    1-Argument  2-Obiective  3-Diseminarea proiectului  4-Model de orientare profesionala  5-Colaboratori    1. Argument     Referatul VIVANT PROFESORES propune revigorarea functiilor si valorilor atribuite foii matricole, la absolvirea liceului.  Noua versiune a foii matricole, se vrea un mini-ghid de orientare...

Read more

Ecologie crestina

                                                ECOLOGIE CREŞTINĂ                                                prof. Ciprian Nazare Colegiul Tehnic „Traian”, Galaţi     Motto: “Căci ştim că toată făptura împreună suspină şi împreună are dureri până acum. Pentru că făptura aşteaptă cu nerăbdare descoperirea fiilor lui...

Read more