Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Categorii
Scris de administrator   
Joi, 08 Iunie 2017 16:08

CATEGORII

Prof. Badea Brigitte,

Colegiul Tehnic Ion Mincu, Timişoara

Rezumat

Structurile algebrice constituie o ramură fascinantă a algebrei, cu aplicaţii extrem de interesante. Elevilor din clasele a XII-a le sunt pezentate câteva structuri algebrice de bază prin care ei pot întrezări frumuseţea acestei părţi a matematicii. Pentru profesorii interesaţi de extinderea în acest domeniu a cunoştinţelor elevilor pe care îi îndrumă voi prezenta în articol noţiunea de categorie, construită cu ajutorul morfismelor studiate în liceu. Această structură algebrică va fi exemplificată prin două categorii tipice, categoria grupurilor abeliene Ab şi categoria R-modulelor Mod( R).

I. Noţiunea de categorie

Se numeşte categorie o noţiune matematică C dată prin:

- o clasă Ob C ale cărei elemente se numesc obiecte;

- pentru fiecare cuplu de obiecte (A,B), o mulţime notată HomC(A,B) numită mulţimea morfismelor de la A la B;

- pentru fiecare tre iobiecte A, B, C o aplicaţie:

mABC: HomC(A,B) HomC(B,C) ®HomC(A,C), aplicaţii care definesc compunerea morfismelor; vom nota: mABC((f,g)) = gf.

Aceste date sunt supuse următoarelor condiţii:

(Cat.1) Dacă (A,B) şi (C,D) sun tdouă perechi distincte de obiecte din C, atunci

HomC(A,B) ∩ HomC(C,D) = Æ.

(Cat.2) Compunerea morfismelor este asociativă, adică:

dacă f HomC(A,B), g HomC(B,C), h HomC(C,D) atunci h(gf) = (hg)f .

(Cat.3) Pentru fiecare obiect A există un morfism 1A HomC(A, A) astfelîncât f HomC(A, ×) şi g HomC(× ,A) să avem: f1A = f şi 1A g = g .

Observaţie: Pentru fiecare obiect A, morfismul1A numit morfism unitate sau morfism identic, este unic.

Fie D o categorie. O categorie Cse numeşte subcategorie a lui D dacă sunt îndeplinite condiţiile:

1) Ob C ÍObD ;

A, B Ob C, HomC(A,B) HomD(A,B) ;

2) Compunerea înCeste indusă de compunerea din D;

3) A Ob C, 1A HomC (A,A).

Prin duala unei categorii vom înţelege categoria C° dată prin:

a) ObC° = ObC ;

b) HomC° (A,B) = HomC(B,A);

c) pentru A, B, C Ob C°, f HomC° (A,B), g HomC° (B,C), m ((f,g)) = mCBA((g,f)).

Principiul dualităţii: Orice noţiune sau enunţ relativ la obiectele şi morfismele unei categoriiCadmite, prin transcriere în categoriaC°, o noţiune sau un enunţ dual.

Observaţie: Practic, dualizarea se obţine prin inversarea săgeţilor ce reprezintă morfismeleluiC.

II. Exemple

1) Categoria grupurilor abeliene Ab

Această categorie este unul din exemplele tipice de categorii, în mod evident condiţiile fiind îndeplinite pentru grupurile abeliene dotate cu morfismele obişnuite şi cu compunerea morfismelor. Exemplul este accesibil inclusive elevilor de liceu în cazul extinderii cunoştinţelor referitoare la structurile algebrice.

2) Categoria R-modulelor Mod(R)

Fie R un inel comutativ arbitrar, cu elemental unitate 1 ≠ 0.

Printr-un modul peste R sauR-modul înţelegem un grup aditiv abelianX împreună cu o aplicaţie

μ: R X → X care satisface următoarele patru axiome:

(M1) μ ( α+β, x) = μ (α, x) + μ ( β, x), α, β R, x X

(M2)μ( α, x+y) = μ(α, x) + μ (α, y), α R , x, y X

(M3)μ [α,μ ( β, x)]= μ (α β, x), α, β R , x X

(M4) μ (1, x) = x , x X .

Aplicaţia μ este numită înmulţirea cu scalar ia modulului X. Această operaţie externă este notată, de regulă, multiplicativ:μ (α, x) = αx.

Cu această notaţie axiomele (M1) – (M4) se scriu:

(M ) (α+β)x = αx + βx , α, β R, x X

(M ) α(x+y) = αx + αy , α R , x, y X

(M ) α(β x) = (α β)x α, β R , x X

(M ) 1x = x, x X .

Fie X şi Y două R-module. O aplicaţie f: X → Y se numeşte morfism de R-module dacă îndeplineşte condiţiile:

(1) f(x+y) = f(x) + f(y), x, y X

(2) f(αx) = αf(x) , α R, x X.

Cu alte cuvinte f este morfism de R-module dacăşi numai dacă este morfism de grupuri şi păstrează înmulţirea cu scalari.

R-modulele dotate cu morfismele de R-module şi cu compunerea uzuală a morfismelor constituie de asemenea un exemplu tipic de categorie.

Bibliografie:

[1] Dragomir A., Dragomir P. – “Structuri algebrice”, Edit. Facla,Timişoara, 1981;

[2] Mitchell B. – Theory of Categories”, Academic Press, New York, 1965;

[3] SzeTsen Hu Introduction to Homological Algebra”, Holdan-Day Inc., 1968.

 

Adaugă comentariu


Codul de securitate
Actualizează

Revista cu ISSN

Discursul explicativ

DISCURSUL EXPLICATIV                                                                             Octavian Horia MINDA                                                                     Şcoala cu clasele I-VIII Sânandrei, jud. Timiş     Discursul explicativ (DE) răspunde unei întrebări pe care şi-ar pune-o atât locutorul cât şi interlocutorul: cum? (mijloace, modalităţi) şi...

Read more

Calendarul concursurilor nationale scola…

Calendarul concursurilor nationale scolare 2015 fara finantare   Vezi Calendarul concursurilor nationale scolare fara finantare MECS organizate in anul 2014-2015, respectiv: ·         concursuri scolare pe domenii/discipline de studiu (limba si literatura romana, limbile...

Read more

Metoda looking through the key hole

Metoda looking through the key hole

METODA ”LOOKING THROUGH THE KEY- HOLE” Profesor: Enache Beatrice- Ionela Școala Gimnazială „Al. Piru”, com. Mărgineni, jud. Bacău Învățarea limbii engleze presupune parcurgerea și însușirea a numeroase teme legate de gramatică,...

Read more

Perceptie si defensivitate in consumul d…

PERCEPŢIE ŞI DEFENSIVITATE ÎN CONSUMUL DE DROGURI LA ADOLESCENŢI   Dolhan Ana Felicia - Profesor Colegiul Naţional “Mihai Eminescu” Oradea   Rezumat: Lucrarea de faţă îşi propune să surprindă temele majore în jurul cărora se construiesc...

Read more

Relatia de comunicare educator educat

 RELAŢIA DE COMUNICARE EDUCATOR-EDUCAT   Prof înv. primar Sorina Nevodenszki ,,Şcoala cu clasele I-VIII Sînandrei”, Jud. Timiş   ,,Când ai stat în bancă ani de zile sub ochii serioşi ai cuiva care te învaţă carte,...

Read more

Concursul National Viva la Musica 2016

CONCURSUL NAȚIONAL “VIVA LA MUSICA” 2016 Prof. Mihaiela Lazar Liceul de Artă “Ioan Sima” Zalău Concursul Național “Viva la musica”, aflat la cea de-a XVIII-a ediție,...

Read more

Spune Nu drogurilor - tipuri de droguri …

Spune Nu drogurilor - tipuri de droguri - opiacee

1. Opiacee   Opiumul şi substanţe înrudite: Cultivarea macului (din care se extrage opiumul) se face pe suprafeţe întinse, cu precădere în Orientul apropiat, mijlociu şi îndepărtat. După perioada de înflorire,...

Read more

Cercetarea stiintifica si tipologia pref…

CERCETARE ŞTIINŢIFICĂ TIPOLOGIA PREFIXOIDELOR prof. Chiru Adelina Şcoala Gimnazială ,,Înv. Clemenţa Beşchea” Căpăţîneşti, Mărăcineni, judeţul Buzău Aspectul formal Intrând în compunerea unui cuvânt, prefixoidele...

Read more